1. ১, ৩, ৬, ১০, ১৫, ২১………….ধারাটির দশম পদ-
ক)
(ক) ৪৫
খ)
(খ) ৫৫
গ)
(গ) ৬২
ঘ)
(ঘ) ৬৫
উত্তর:
(খ) ৫৫
ব্যাখ্যা:
ধারাটির পদগুলোর পার্থক্য যথাক্রমে ২, ৩, ৪, ৫, ৬...। এটি একটি দ্বিস্তর ধারা। n-তম পদের সূত্র হলো n(n+1)/2। সুতরাং, দশম পদ হবে = ১০(১০+১)/২ = ১০×১১/২ = ৫৫।
2. পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বছর। আবার পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর। পুত্রের বয়স-
ক)
(ক) ৯ বছর
খ)
(খ) ১৪ বছর
গ)
(গ) ১৫ বছর
ঘ)
(ঘ) ১৮ বছর
উত্তর:
(ঘ) ১৮ বছর
ব্যাখ্যা:
পিতা ও মাতার মোট বয়স = ৪৫ × ২ = ৯০ বছর। পিতা, মাতা ও পুত্রের মোট বয়স = ৩৬ × ৩ = ১০৮ বছর। সুতরাং, পুত্রের বয়স = ১০৮ - ৯০ = ১৮ বছর।
3. একটি জারে দুধ ও পানির অনুপাত ৫ : ১। দুধের পরিমাণ যদি পানি অপেক্ষা ৮ লিটার বেশি হয় তবে পানির পরিমাণ কত?
ক)
(ক) ২ লিটার
খ)
(খ) ৪ লিটার
গ)
(গ) ৬ লিটার
ঘ)
(ঘ) ১০ লিটার
উত্তর:
(ক) ২ লিটার
ব্যাখ্যা:
ধরি, দুধের পরিমাণ ৫x এবং পানির পরিমাণ x লিটার। প্রশ্নমতে, ৫x - x = ৮ => ৪x = ৮ => x = ২। সুতরাং, পানির পরিমাণ ২ লিটার।
4. টাকায় ৩টি লেবু কিনে টাকায় ২টি করে বিক্রি করলে শতকরা কত লাভ হয়?
ক)
(ক) ৫০%
খ)
(খ) ৩০%
গ)
(গ) ৩৩%
ঘ)
(ঘ) ৩১%
উত্তর:
(ক) ৫০%
ব্যাখ্যা:
৩টি লেবুর ক্রয়মূল্য ১ টাকা, সুতরাং ১টি লেবুর ক্রয়মূল্য ১/৩ টাকা। ২টি লেবুর বিক্রয়মূল্য ১ টাকা, সুতরাং ১টি লেবুর বিক্রয়মূল্য ১/২ টাকা। লাভ = (১/২ - ১/৩) = ১/৬ টাকা। শতকরা লাভ = (লাভ / ক্রয়মূল্য) × ১০০ = ((১/৬) / (১/৩)) × ১০০ = (১/২) × ১০০ = ৫০%।
5. ১২ জন শ্রমিক ৩ দিনে ৭২০ টাকা আয় করে। তবে ৯ জন শ্রমিক সমপরিমাণ টাকা আয় করবে-
ক)
(ক) ৫ দিনে
খ)
(খ) ৪ দিনে
গ)
(গ) ৬ দিনে
ঘ)
(ঘ) ৩ দিনে
উত্তর:
(খ) ৪ দিনে
ব্যাখ্যা:
১২ জন শ্রমিক আয় করে ৭২০ টাকা ৩ দিনে। ১ জন শ্রমিক আয় করে ৭২০ টাকা (১২ × ৩) দিনে। ৯ জন শ্রমিক আয় করে ৭২০ টাকা (১২ × ৩) / ৯ দিনে = ৩৬ / ৯ = ৪ দিনে।
6. লঞ্চ ও স্রোতের গতিবেগ যথাক্রমে ঘণ্টায় ১৮ কি.মি. ও ৬ কি.মি.। নদীপথে ৪৮ কি.মি. অতিক্রম করে পুণরায় ফিরে আসতে সময় লাগবে-
ক)
(ক) ১০ ঘন্টা
খ)
(খ) ৫ ঘন্টা
গ)
(গ) ৬ ঘন্টা
ঘ)
(ঘ) ৮ ঘন্টা
উত্তর:
(গ) ৬ ঘন্টা
ব্যাখ্যা:
স্রোতের অনুকূলে গতিবেগ = ১৮ + ৬ = ২৪ কিমি/ঘণ্টা। স্রোতের প্রতিকূলে গতিবেগ = ১৮ - ৬ = ১২ কিমি/ঘণ্টা। যাওয়ার সময় = ৪৮/২৪ = ২ ঘণ্টা। ফিরে আসার সময় = ৪৮/১২ = ৪ ঘণ্টা। মোট সময় = ২ + ৪ = ৬ ঘণ্টা।
7. কোন সংখ্যার ১/২ অংশের সাথে ৬ যোগ করলে সংখ্যাটির ২/৩ অংশ হবে। সংখ্যাটি কত?
ক)
(ক) ৫৩
খ)
(খ) ৬৩
গ)
(গ) ৩৬
ঘ)
(ঘ) ৩৫
উত্তর:
(গ) ৩৬
ব্যাখ্যা:
ধরি, সংখ্যাটি x। প্রশ্নমতে, (x/২) + ৬ = ২x/৩ => ৬ = (২x/৩) - (x/২) => ৬ = (৪x - ৩x)/৬ => ৬ = x/৬ => x = ৩৬।
8. ৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা-
ক)
(ক) ৫
খ)
(খ) ৩
গ)
(গ) ৭
ঘ)
(ঘ) ৪
উত্তর:
(ঘ) ৪
ব্যাখ্যা:
৪৩ থেকে ৬০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো হলো: ৪৩, ৪৭, ৫৩, ৫৯। সুতরাং মোট ৪টি মৌলিক সংখ্যা রয়েছে।
9. যদি p একটি মৌলিক সংখ্যা হয় তবে √p-
ক)
(ক) একটি স্বাভাবিক সংখ্যা
খ)
(খ) একটি পূর্ণ সংখ্যা
গ)
(গ) একটি মূলদ সংখ্যা
ঘ)
(ঘ) একটি অমূলদ সংখ্যা
উত্তর:
(ঘ) একটি অমূলদ সংখ্যা
ব্যাখ্যা:
যে সংখ্যা পূর্ণবর্গ নয়, তার বর্গমূল একটি অমূলদ সংখ্যা। যেহেতু p একটি মৌলিক সংখ্যা, এটি পূর্ণবর্গ হতে পারে না। সুতরাং, √p একটি অমূলদ সংখ্যা।
10. (√3.√5)⁴– এর মান কত?
ক)
(ক) 30
খ)
(খ) 60
গ)
(গ) 225
ঘ)
(ঘ) 15
উত্তর:
(গ) 225
ব্যাখ্যা:
(√3 × √5)⁴ = (√15)⁴ = (15¹/²)⁴ = 15⁽⁴/²⁾ = 15² = 225।
11. ক এবং খ একত্রে একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। ক একা কাজটি ২০ দিনে করতে পারে, খ একা কাজটি করতে পারবে-
ক)
(ক) ২৫ দিনে
খ)
(খ) ৩০ দিনে
গ)
(গ) ৩৫ দিনে
ঘ)
(ঘ) ৪০ দিনে
উত্তর:
(খ) ৩০ দিনে
ব্যাখ্যা:
ক ও খ ১ দিনে করে ১/১২ অংশ। ক একা ১ দিনে করে ১/২০ অংশ। সুতরাং, খ একা ১ দিনে করে (১/১২ - ১/২০) অংশ = (৫-৩)/৬০ অংশ = ২/৬০ = ১/৩০ অংশ। খ সম্পূর্ণ কাজটি করতে সময় নেবে ৩০ দিন।
12. ৭২ সংখ্যাটির মোট ভাজক আছে-
ক)
(ক) ৯টি
খ)
(খ) ১০টি
গ)
(গ) ১১টি
ঘ)
(ঘ) ১২টি
উত্তর:
(ঘ) ১২টি
ব্যাখ্যা:
৭২ = ৮ × ৯ = ২³ × ৩²। ভাজকের সংখ্যা = (৩+১) × (২+১) = ৪ × ৩ = ১২টি। ভাজকগুলো হলো: ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ৯, ১২, ১৮, ২৪, ৩৬, ৭২।
13. দুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা নির্ণয় করুন, যাদের বর্গের অন্তর ৪৭-
ক)
(ক) ২১ এবং ২২
খ)
(খ) ২২ এবং ২৩
গ)
(গ) ২৩ এবং ২৪
ঘ)
(ঘ) ২৪ এবং ২৫
উত্তর:
(গ) ২৩ এবং ২৪
ব্যাখ্যা:
দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর তাদের যোগফলের সমান। এখানে, ২৩ + ২৪ = ৪৭। সুতরাং, সংখ্যা দুটি ২৩ এবং ২৪।
14. x + y = 8, x – y = 6 হলে, x² + y² এর মান-
ক)
(ক) 40
খ)
(খ) 60
গ)
(গ) 50
ঘ)
(ঘ) 80
উত্তর:
(গ) 50
ব্যাখ্যা:
আমরা জানি, 2(x² + y²) = (x+y)² + (x-y)²। => 2(x² + y²) = 8² + 6² = 64 + 36 = 100। => x² + y² = 100/2 = 50।
15. a + 1/a =√3 হলে, a² + 1/a² এর মান-
ক)
(ক) 6
খ)
(খ) 4
গ)
(গ) 2
ঘ)
(ঘ) 1
উত্তর:
(ঘ) 1
ব্যাখ্যা:
a² + 1/a² = (a + 1/a)² - 2 * a * (1/a) = (√3)² - 2 = 3 - 2 = 1।
16. একটি বর্গক্ষেত্রের বাহুর দৈর্ঘ্য ৮ফুট হলে, ঐ বর্গক্ষেত্রের কর্ণের ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত?
ক)
(ক) ১৫৬ বর্গফুট
খ)
(খ) ১৬৪ বর্গফুট
গ)
(গ) ১২৮ বর্গফুট
ঘ)
(ঘ) ২১৮ বর্গফুট
উত্তর:
(গ) ১২৮ বর্গফুট
ব্যাখ্যা:
বর্গের কর্ণ = বাহু × √২ = ৮√২ ফুট। কর্ণের ওপর অঙ্কিত বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য হবে ৮√২ ফুট। সুতরাং, ঐ নতুন বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (৮√২)² = ৬৪ × ২ = ১২৮ বর্গফুট।
17. √2/(√6 + 2) সমান-
ক)
(ক) √3 + √2
খ)
(খ) 8 – √2
গ)
(গ) √3 – √2
ঘ)
(ঘ) √3 + 2
উত্তর:
(গ) √3 – √2
ব্যাখ্যা:
√২/(√৬ + ২) = {√২(√৬ - ২)}/{(√৬ + ২)(√৬ - ২)} = (√১২ - ২√২)/(৬ - ৪) = (২√৩ - ২√২)/২ = √৩ - √২।
18. x² – 8x – 8y + 16 + y² এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণ বর্গ হবে?
ক)
(ক) – 2xy
খ)
(খ) 8xy
গ)
(গ) 6xy
ঘ)
(ঘ) 2xy
উত্তর:
(ঘ) 2xy
ব্যাখ্যা:
প্রদত্ত রাশিটিকে সাজালে হয় (x² + 2xy + y²) – (8x + 8y) + 16 (2xy যোগ করার পর)। এটি (x+y)² - 8(x+y) + 16 আকারে লেখা যায়, যা (x+y-4)² এর সূত্র। এটি একটি পূর্ণ বর্গ রাশি। সুতরাং, 2xy যোগ করতে হবে।
19. x² – y² + 2y – 1এর একটি উৎপাদক-
ক)
(ক) x + y + 1
খ)
(খ) x – 1
গ)
(গ) x + y – 1
ঘ)
(ঘ) x – y -1
উত্তর:
(গ) x + y – 1
ব্যাখ্যা:
x² - y² + 2y - 1 = x² - (y² - 2y + 1) = x² - (y-1)² = {x + (y-1)}{x - (y-1)} = (x+y-1)(x-y+1)। সুতরাং একটি উৎপাদক হলো (x+y-1)।
20. ১৩ সে.মি. ব্যাসার্ধের বৃত্তের কেন্দ্র হতে ৫ সে.মি. দূরত্বে অবস্থিত জ্যা-এর দৈর্ঘ্য-
ক)
(ক) ২৪ সে.মি.
খ)
(খ) ১৮ সে.মি.
গ)
(গ) ১৬ সে.মি.
ঘ)
(ঘ) ১২ সে.মি.
উত্তর:
(ক) ২৪ সে.মি.
ব্যাখ্যা:
কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। এখানে, ব্যাসার্ধ (অতিভুজ) = ১৩ সে.মি., লম্ব দূরত্ব = ৫ সে.মি.। পিথাগোরাসের সূত্রানুযায়ী, (অর্ধ-জ্যা)² = (অতিভুজ)² - (লম্ব)² = ১৩² - ৫² = ১৬৯ - ২৫ = ১৪৪। সুতরাং, অর্ধ-জ্যা = √১৪৪ = ১২ সে.মি.। পূর্ণ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = ১২ × ২ = ২৪ সে.মি.।