1. ১. A = {x ∈ ℝ : x² - 5x + 6 = 0} এবং B = {x ∈ ℝ : x² - 4 = 0} হলে A \ B কত?
a) {3}
b) {2, 3}
c) {-2, 3}
d) {2}
Answer: {3}
Explanation: - A সেট: x² - 5x + 6 = 0 ⇒ (x-2)(x-3) = 0 ⇒ x = 2, 3। অর্থাৎ A = {2, 3} - B সেট: x² - 4 = 0 ⇒ x² = 4 ⇒ x = ±2। অর্থাৎ B = {-2, 2} - A \ B = {2, 3} \ {-2, 2} = {3} (যে উপাদানটি A-তে আছে কিন্তু B-তে নেই)।
2. ২. x = √3 + √2 হলে x³ + 1/x³ এর মান কত?
a) 18√3
b) 12√3
c) 18√2
d) 12√2
Answer: 18√3
Explanation: - দেওয়া আছে, x = √3 + √2 - অতএব, 1/x = 1/(√3 + √2) = (√3 - √2) / {(√3)² - (√2)²} = √3 - √2 - যোগ করে পাই, x + 1/x = (√3 + √2) + (√3 - √2) = 2√3 - x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ - 3(x + 1/x) = (2√3)³ - 3(2√3) = 24√3 - 6√3 = 18√3
3. ৩. 2^x + 2^(1-x) = 3 হলে x এর মান কত?
a) 0, 1
b) 1, 2
c) 1, 0
d) 1, -2
Answer: 0, 1
Explanation: - 2^x + 2/2^x = 3 - ধরি, 2^x = a - a + 2/a = 3 ⇒ a² - 3a + 2 = 0 ⇒ (a - 1)(a - 2) = 0 - হয় a = 1 ⇒ 2^x = 2^0 ⇒ x = 0 - অথবা a = 2 ⇒ 2^x = 2^1 ⇒ x = 1 - সুতরাং, x = 0, 1
4. ৪. log_a(x) = 1 এবং log_a(y) = 2 হলে log_a(x³ y²) এর মান কত?
a) 7
b) 6
c) 5
d) 4
Answer: 7
Explanation: - log_a(x³ y²) = log_a(x³) + log_a(y²) = 3 log_a(x) + 2 log_a(y) - মান বসিয়ে: 3(1) + 2(2) = 3 + 4 = 7
5. ৫. ৫ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলার মধ্য থেকে ৪ জনের একটি কমিটি গঠন করতে হবে যেখানে অন্তত ১ জন পুরুষ থাকবে। কত উপায়ে কমিটি গঠন করা যায়?
a) ১২৫
b) ১২৬
c) ১২৪
d) ১২০
Answer: ১২৫
Explanation: - মোট লোকসংখ্যা = ৫ পুরুষ + ৪ মহিলা = ৯ জন। - মোট ৪ জনের কমিটি গঠনের মোট উপায় = ⁹C₄ = (9 × 8 × 7 × 6) / (4 × 3 × 2 × 1) = 126 - কোন পুরুষ না নিয়ে (শুধুমাত্র ৪ জন মহিলার মধ্যে ৪ জন নিয়ে) কমিটি গঠনের উপায় = ⁴C₄ = 1 - অন্তত ১ জন পুরুষ রেখে কমিটি গঠনের উপায় = 126 - 1 = 125
6. ৬. কোন একটি সমান্তর ধারার p-তম পদ q এবং q-তম পদ p হলে, (p+q)-তম পদটি কত?
a) p + q
b) p - q
d) 1
Answer: 0
Explanation: - প্রথম পদ a এবং সাধারণ অন্তর d হলে: p-তম পদ: a + (p - 1)d = q ---- (১) q-তম পদ: a + (q - 1)d = p ---- (২) - (১) হতে (২) বিয়োগ করে: (p - q)d = q - p = -(p - q) ⇒ d = -1 - (p+q)-তম পদ = a + (p + q - 1)d = a + (p - 1)d + qd = q + q(-1) = q - q = 0
7. ৭. একটি জ্যা বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ৬ সেমি দূরে অবস্থিত। বৃত্তের ব্যাসার্ধ ১০ সেমি হলে, জ্যা-এর দৈর্ঘ্য কত সেমি?
a) ৮
b) ১২
c) ১৬
d) ২০
Answer: ১৬
Explanation: - কেন্দ্র থেকে জ্যা-এর ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। - উৎপন্ন সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ (ব্যাসার্ধ) = ১০ সেমি, লম্ব = ৬ সেমি। - ভূমি (জ্যা-এর অর্ধেক) = √(১০² - ৬²) = √(১০০ - ৩৬) = √৬৪ = ৮ সেমি। - অতএব পুরো জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = ৮ × ২ = ১৬ সেমি।
8. ৮. একটি তাসের প্যাকেট থেকে দৈবভাবে একটি তাস নেওয়া হলে তাসটি ‘ইস্কাপন’ (Spade) অথবা ‘টেক্কা’ (Ace) হওয়ার সম্ভাবনা কত?
a) 4/13
b) 1/13
c) 1/4
d) 1/52
Answer: 4/13
Explanation: - মোট তাস = ৫২ টি। - ইস্কাপন তাস = ১৩ টি। টেক্কা = ৪ টি (যার মধ্যে ১টি ইস্কাপনের টেক্কা সাধারণ)। - অনুকূল ঘটনা = ১৩ + ৪ - ১ = ১৬ টি তাস। - সম্ভাবনা = ১৬ / ৫২ = ৪ / ১৩
9. ৯. ঘড়িতে যখন ৮টা বাজে, তখন ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যকার কোণটি কত ডিগ্রি?
a) 120°
b) 90°
c) 150°
d) 60°
Answer: 120°
Explanation: - সূত্র: θ = |30H - 5.5M| - এখানে H = 8 এবং M = 0 - θ = |30 × 8 - 5.5 × 0| = 240° - সূক্ষ্ম/স্থূল কোণটি হবে = 360° - 240° = 120°
10. ১০. নিচের কোনটি অমূলদ সংখ্যা?
a) √9
b) ∛27
c) √(27/48)
d) √5
Answer: √5
Explanation: - √9 = 3 (মূলদ) - ∛27 = 3 (মূলদ) - √(27/48) = √(9/16) = 3/4 (মূলদ) - √5 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়, তাই এটি একটি অমূলদ সংখ্যা।
